点击接通在线客服
有效数字及其运算规则
【来源/作者】周世华 【更新日期】2017-03-26

在科学试验中,分析结果的数值所表达的不仅仅是试样中待测组分含量的多少,还反映了测量的精确程度。因此,在实验数据的记录、运算处理以及结果的表示中,保留几位数字不是任意的,要根据测量仪器、分析方法的精度来决定。这就必须了解有效数字的概念。

一、有效数字的含义及位数

有效数字是以数字来表示有效数量,它是指在具体分析工作中实际能测量到的数字。即在记录测定数据时,测得结果的数值所表示的准确程度应与测试时所用的仪器和分析方法的精度相一致。例如,将一称量瓶用万分之一的分析天平称量,称得质量为15.5119g,说明该类天平可称至小数点后第四位,这些数是有效数字,即有六位有效数字;如用台秤称量,称得质量为15.5g,说明该台秤可称至小数点后一位,即有三位有效数字。在有效数字中,只有最后一位数字是不确定的,称为可疑数字,其余数字都应该是准确的。又如,用一分析天平称得某物质的质量为0.5180g,为四位有效数字。其中0.518是准确的,“0”位可疑,说明其有上下一个单位的误差,即该物质称量的绝对误差为±0.0001g,该物质的质量应为(0.5180±0.0001)g,其相对误差约为±0.02%;若将0.5180写成0.518g,则其绝对误差为±0.001g,相对误差为约为±0.2%。可见多一位或少一位数字“0”,从数学角度看关系不大,但记录反映出的精度却相差了10倍。所以,在数据中代表着一定的量的每一个数字都是重要的。因此记录和报告的测定结果只应包含有效数字,对有效数字的位数不能任意增删。关于有效数字位数的确定,还应注意以下几点:

① 字“0”在数据中具有双重意义。它可以作为有效数字使用,但有时只起定位作用,就不是有效数字。例如定量分析中所用的0.02010mol·L-1叫的KMnO4标准溶液,此数据具有4位有效数字。数字前面的“0”只起定位作用,不是有效数字;中间的“0”和后面的“0”均算有效数字。该数据准确到小数点第四位,第五位可能有±1的误差。

②改变单位并不改变有效数字的位数。如滴定管读数12.34mL,若该读数改用升为单位,则是0.01234L,这时前面的两个零只起定位作用,不是有效数字,0.01234L与12.34mL一样都是四位有效数字。当进行单位换算,需要在数的末尾加“0”作定位作用时,最好采用指数形式表示,否则有效数字的位数含混不清。例如,质量为25.0g的某物质,若以毫克为单位,则可表示为2.50×104mg;若表示为25000mg,就易误解为五位有效数字。

③分析化学中还经常遇到pH、pC、lgK等对数值。对数值有效数字位数,仅由真数小数部分的位数决定,首数(整数部分)只起定位作用,不是有效数字。因此对数运算时,对数小数部分的有效数字位数应与相应的真数的有效数字位数相同。例如,pH=12.68,即[H+]=2.1×10-1 3mol·L-1,其有效数字为两位,而不是四位。

④对于非测量得的数字,如倍数、分数、π、e等,它们具有不确定性,其有效数字位数可视为无限制,应根据具体情况来确定,即在计算过程中需要几位写几位。

二、有效数字的修约规则

有效数字的修约,按“四舍六入五留双”的原则,即当多余尾数小于5时,弃去;当多余尾数大于或等于6时,进位;多余尾数等于5且其后没有数字或其后数字为零时,如进位后得偶数则进位,如进位后为奇数,则弃去;多余尾数等于5且其后的数字不为零时,不管进位后是奇数或是偶数一律进位。如将下列测量值修约为四位有效数字时,结果应为:

4.1265→4.126;4.1275→4.128;4.12651→4.127;

4.1264→4.126;4.1266→4.127

应当注意,在修约数字时,只能对原始数据一次修约到所需位数,而不能连续修约。如:要把17.46修约为两位,只能一次修约为17;而不能把17.46修约为17.5,再修约为18。

1、加减法

几个数相加减时,和或差的有效数字的保留,应以小数点后位数最少的数据为根据,即决定于绝对误差最大的那个数据。

例如:0.0121+25.64+1.05782=26.71

25.64的绝对误差为±0.01,是最大的,故按小数后保留两位。

小数点后位数的多少反映了测量绝对误差的大小,如小数后有1位,它的绝对误差为±0.1,而小数点有2位时,绝对误差为±0.01。可见,小数点后具有相同位数的数字,其绝对误差的大小也相同。而且,绝对误差的大小仅与小数部分有关,而与有效数字位数无关。所以,在加减运算中,原始数据的绝对误差,决定了计算结果的绝对误差大小,计算结

果的绝对误差必然受到绝对误差最大的那个原始数据的制约而与之处在同一水平上。

2、乘除法

几个数相乘、除时,其积或商的有效数字应与参加运算的数字中有效数字位数最少的那个数字相同。即:所得结果的位数取决于相对误差最大的那个数字。

如式中0.0325、5.103、60.064、139.82四个数字的相对误差分别为±0.3%、±0.02%、±0.02%、±0.07%,故结果应以0.0325为标准,修约为三位有效数字。

具有相同有效数字位数的数字,其相对误差Er处在同一水平上,而且Er的大小,仅与有效数字位数有关,而与小数点位数无关。因此,积或商的相对误差必然受到相对误差最大的那个有效数字的制约,且在同一水平上。

注意:计算有效数字位数时,若数据的首位数等于或大于8,其有效数字的位数可多算一位。如0.870、0.928等实际上虽只有三位有效数字,但其相对误差约为0.1%,与0.1008、0.1102等四位有效数字数值的相对误差接近,所以通常将它们当4位有效数字的数值处理。

在较复杂的计算过程中,中间各步可暂时多保留一位不定值数字,以免多次舍弃,造成误差的积累。待到最后结束时,再弃去多余的数字。

目前,电子计算器的应用相当普遍。由于计算器上显示的数值位数较多,虽运算过程中不必对每一步计算结果进行位数确定,但应注意正确保留最后结果的有效数字位数。

在表示分析结果时,组分含量≥10%时,取四位有效数字,含量在1%~10%时取三位有效数字,含量≤1%时取两位;标准溶液浓度取四位;表示误差时,只需取一位有效数字,最多取两位即已足够。

参考资料:分析化学


【关键词】有效数字,修约规则,奥科官网,北京世纪奥科 

<< 上一篇:少量数据的统计处理——t分布曲线 (二)

>> 下一篇:有机组分分析的样品预处理方法(一)